Une théorie propice à créer des ponts

Comment la théorie des topos, développée par le mathématicien Alexandre Grothendieck [ 1928 – 2014 ], peut-elle contribuer à une IA tout à la fois frugale, souveraine et locale ? C’est la question dont traitait la table ronde que nous animions le 21 mai dernier dans le cadre d’un séminaire de l’association Aristote. Y intervenaient aussi bien des théoriciens des mathématiques que des ingénieurs, qui témoignaient de la fertilité des échanges entre leurs « mondes respectifs » dès lors que les premiers consentent à se confronter aux problématiques concrètes des seconds et que ceux-ci consentent, de leur côté, à se confronter aux mathématiques pures. Sans attendre la tenue de cette table ronde, nous abordions cet enjeu d’un dialogue proprement « indisciplinaire » dans une série d’entretiens réalisés en amont avec plusieurs de ses intervenants. Nous l’inaugurons ici avec Martin Gonzalez, référent scientifique de l’équipe Sciences de Données et IA à l’IRT SystemX, qui revient notamment sur programme structurant la stratégie nationale pour l’IA de Confiance.ai auquel il a participé.

- Pour commencer, pouvez-vous rappeler les circonstances de votre rencontre avec la théorie des topos ?

M.G. : Je l’ai rencontrée à l’ENS par l’intermédiaire d’un mathématicien brillant, Jean Bénabou, grand catégoricien des années 1970-80, dans le cadre du séminaire mamuphi – mathématiques, musique et philosophie, que je coanime désormais, à l’IRCAM à présent, avec entre autres François Nicolas – compositeur et Polytechnicien. Jean Bénabou y avait fait un exposé complètement rocambolesque ayant comme intitulé « Magie des topos, ou topos et magie ? ». Un titre à dessein provocateur. Pour l’étudiant en musique et en mathématiques que j’étais à l’époque, le propos était incroyable ; en substance, Jean Bénabou nous invitait à oublier tout ce qu’on savait de la théorie des ensembles et la théorie des catégories, autrement dit des théories que certains considèrent sous-jacentes à un certain nombre de fondements mathématiques. En lieu et place, il proposait de partir d’une simple heuristique consistant à imaginer des collections de personnes observant des étoiles : certaines en voyaient deux différentes, d’autres les confondaient, car elles les observaient dans un alignement. Je me souviens que des personnes comme Pierre Cartier [ 1932 – 2024 ], et Yves André avaient été captivées tout en s’interrogeant sur ce vers quoi Jean Bénabou voulait nous amener. En fait, ce dernier avait fini par reconstituer la théorie des topos sur la base de cette heuristique et par clarifier de quel topos d’ensemble il s’agissait avec ces observateurs, topos dans lequel on pouvait faire des opérations mathématiques assez invraisemblables, qu’en principe on ne peut pas à faire comme, par exemple, multiplier des matrices infinies. Rien qui ne déboucha cependant sur un moyen de démontrer une conjecture de Grothendieck ou que sais-je encore, comme par exemple faire autrement de l’algorithmie. D’ailleurs, son article, que l’exposé présentait, était publié dans un ouvrage d’histoire et philosophie de mathématiques. Il était d’abord destiné à montrer combien la théorie des topos était utile à penser autrement, quitte à déborder le champ des théories que les mathématiciens mobilisent tous les jours. Et c’est précisément le point saillant à en retenir.

- Comment caractériseriez-vous sa démarche ?

M.G. : Je parlerais d’« intellectualité mathématique » en ce sens qu’il ne s’agit pas tout à fait de philosophie des mathématiques ni d’un croisement entre philosophie et mathématiques. Bénabou est cette figure de mathématicien qui réfléchit à sa discipline dans la langue vernaculaire, réapprivoisant le langage pour y réfracter la pensée mathématique telle une « réflexion ». Soit une pratique bien inscrite dans l’histoire des mathématiques – qu’on songe à Henri Poincaré. Cette intellectualité mathématique parvient à produire des concepts qui lui sont propres mais qui, d’une manière très étrange, réussissent à organiser la pensée pour clarifier des zones d’ombre en mathématiques sans pour autant y intervenir, par exemple en ne jouant pas de rôle dans des preuves de théorèmes qu’ils ont pourtant aidé à mieux énoncer, mais aussi pour éclairer un certain nombre de choses en dehors du champ mathématique. Par exemple, s’agissant des topos, un certain William Lawvere a ressaisi les topos de Grothendieck pour faire des topos élémentaires. Je vois, dans ce geste, une tentative de nature avant tout intellectuelle, à l’origine destinée à clarifier le noyau rationnel du concept de topos.

Ces concepts ont beau être produits par une intellectualité mathématique, force est de constater qu’ils peuvent servir à faire concrètement des choses complètement différentes, que Grothendieck lui-même n’avait pas perçues, notamment en logique géométrique – je pense à cet égard à l’apport actuel de la logicienne et mathématicienne Olivia Caramello.

- Dans quelle mesure cette intellectualité vous a-t-elle conforté dans l’idée de confronter la théorie des topos à la musique ?

M.G. : Dans le sillage de ma découverte de la théorie des topos, dans les années 2009, j’ai découvert le livre d’un certain Guerino Mazzola. Mathématicien, en géométrie algébrique, il pratiquait par ailleurs la musique, du jazz en l’occurrence. Son ouvrage affichait bien l’ambition puisqu’il avait pour titre The Topos of Music : geometric logic of concepts, theory and performance [ Springer International Publishing, 2002]. Son approche de la musique par la théorie des topos lui permettait notamment de réaliser des programmes informatiques de composition assistée par ordinateur. Ce livre m’a permis de prendre la mesure du caractère applicatif que pouvait revêtir la théorie des topos. Je me suis alors interrogé sur ce que je pouvais moi-même faire de cette théorie au regard notamment de la musique que je pratiquais moi aussi, par ailleurs. Allais-je m’engager dans une démarche de recherche, au croisement des deux, à l’image de Guerino Mazzola ? Finalement, j’ai préféré maintenir les deux champs séparés, plutôt que de chercher à les fusionner, de façon à garder la richesse propre à chacun. Évidemment, cela ne me simplifiait pas la tâche, car cela impliquait de faire des mathématiques en tant que mathématicien et de la musique en tant que musicien. Mais, avec le recul, force est de constater que ce parti pris a été fructueux. Car c’est précisément en gardant les choses séparées et, ainsi, en les dialectisant qu’on peut parvenir à des résultats aussi sinon plus stimulants…

- « En les dialectisant » avez-vous-dit. On reconnaît là un autre de vos centres d’intérêt qu’on peut évoquer à ce stade de l’entretien, à savoir la philosophie hégélienne…

M.G. : En effet ! La théorie des topos permet de capturer et de formaliser de façon remarquable la capacité humaine au raisonnement dialectique comme en témoigne la mathématisation de la Science de la Logique de Hegel qu’elle permet – un sujet que j’ai creusé dans mes articles interdisciplinaires. Et pour s’engager dans un mouvement dialectique, il est préférable de marcher sur deux jambes plutôt que de chercher à se placer à la frontière. Une position qu’on croit plus confortable parce que située à la frontière de deux disciplines mais qui, en réalité, ne l’est pas tant que cela.

- Le béotien que je suis ne résiste pas à considérer que vous aviez d’autant plus raison de maintenir séparés les deux domaines que c’est la meilleure façon de jeter un ou des « pont(s) » entre les deux, pour reprendre un concept cher à Olivia Caramello que vous avez évoquée…

M.G. : Tout à fait !  Un pont, ce sont des invariants mobilisés, mais relativement à ce qui varie. C’est en cela quelque chose de merveilleux à étudier y compris mathématiquement, comme cela a été fait à partir de concepts élaborés par Alexander Grothendieck dans les années 1960, puis par William Lawvere dans les années 1970 et, aujourd’hui, à travers les travaux d’Olivia Caramello. Il est clair que le concept de pont invite à lier des choses même lointaines en mathématiques, sans chercher, justement, à les rapprocher. Au contraire, on en préserve les richesses internes respectives. Trop rapprocher les choses risque de les appauvrir. Sachant que construire un pont, cela ne consiste pas à combler un fossé : ce dernier continue alors d’exister.

- C’est composer avec les rives…

M.G. : Je dirais même plus : ce n’est pas faire violence à l’une des deux rives !

- Pour en revenir à la dialectique entre théorie des topos et musique, qu’a-t-elle produit d’intéressant ?

M.G. : Elle a débouché sur plusieurs résultats sinon des pistes de réflexion, à commencer par quelque chose de l’ordre de la « raisonance », c’est-à-dire une mise en résonance entre des raisons hétérogènes, à l’image, pour user d’une métaphore, de deux alpinistes qui empruntent des cols différents mais qui, à certains moments, se voient à distance avec le sentiment de vivre ainsi une expérience similaire ou de même nature – le gravissement d’une montagne, malgré tout ce qui les sépare.

- Je ne résiste pas à l’envie de réagir à cette métaphore des alpinistes, que je me suis surpris à convoquer pour suggérer que ce n’est pas parce que deux personnes disent des choses différentes qu’elles ne « s’entendent » pas. Elles peuvent même chercher à atteindre le même objectif - le sommet d’une même montagne, en l’occurrence - mais en abordant celle-ci depuis des versants différents, l’adret, dans un cas, l’ubac dans l’autre… Je vous vois sourire…

M.G. : C’est précisément ainsi que des intellectualités différentes peuvent se mettre en « connivence » ! Heureusement, les points de vue ne s’opposent pas radicalement. Une illustration en est fournie – j’y reviens – dans la manière d’aborder les rapports entre musique et mathématiques des topos : si, comme je l’ai dit, Guerino Mazzola a, dans The Topos of Music, théorisé la musique à partir des mathématiques, d’autres ont cherché à théoriser la musique mais à partir de catégories intra-musicales comme le compositeur François Nicolas. Dans un cas comme dans l’autre, cela ne donnait pas les mêmes résultats. Ce qui ne veut pas dire que l’une des approches était plus pertinente que l’autre. Elles ne découpaient juste pas les choses de la même façon. On retrouve là votre métaphore des alpinistes. Évidemment, il n’y a pas une seule façon d’aborder un sujet. Le fait que ne soient pas accomplis les mêmes gestes ne signifie pas que les approches sont contradictoires, qu’il n’y ait pas une certaine connivence entre elles. Un terme particulier rend bien compte de cette réalité : la compossibilité. Des gestes ont beau ne pas être les mêmes, ils sont compossibles, autrement dit possibles ensemble sans être pour autant alignés. On peut être dans une position commune à laquelle chacun tient et, donc, dans une forme de solidarité, car on peut momentanément se soustraire à son point de vue, à son domaine de compétence pour étudier celui de l’autre, comme de l’intérieur. En saisir l’« inspect » en somme, comme on dirait l’« aspect » pour parler de l’extérieur. Pour le dire encore autrement, on peut « inspecter » le travail d’un autre et en percevoir le caractère compossible avec son propre travail. D’un point de vue intellectuel, on tient les mêmes points, quand bien même les aborde-t-on depuis des disciplines ou des travaux différents.

- En vous écoutant, me vient à l’esprit le cas de polyglottes qui poursuivraient leurs travaux dans leur langue maternelle tout en pouvant se comprendre réciproquement dans la langue de l’autre… Cette métaphore vous paraît-elle pertinente ?

M.G. : Elle l’est à condition en effet de parler soi-même la langue de l’autre et non de la comprendre par le truchement d’un.e interprète… Puisque j’en viens à parler de traduction, je ne peux m’empêcher d’évoquer la question que les traducteurs de Hegel se posent concernant le statut certaines notions si spécifiques qu’elles en paraissent intraduisibles, et qui le sont d’ailleurs effectivement. De sorte que des traducteurs considèrent qu’il vaut mieux maintenir ces notions en allemand quitte à en expliciter le sens par une note de bas de page.

- Revenons-en à la théorie des topos. Si vous deviez la caractériser à la lumière de votre parcours ?

M.G. : Il faut justement toute une trajectoire de vie pour que la théorie des topos finisse par habiter quelqu’un au sens où elle lui inculque une manière particulière, subjective, d’approcher les choses, qui va au-delà de la théorie même. Cette théorie  nous habite comme une musique peut le faire : elle reste en nous sans avoir besoin de l’analyser dans ses moindres notes. Dès qu’on commence à entrer dans les détails, on se rend compte que, finalement, ce dont on parle n’est pas exactement un topos au sens de Grothendieck, mais un pré-topos, un topos élémentaire. En ce sens, je reprends à mon compte ce que disait William Lawvere sur ces topos, à savoir : si on va y chercher des fondements des mathématiques – non pas au sens d’un logicisme mais plutôt de ce qu’il y a d’universel dans les mathématiques -, cet universel déborde la pensée mathématique pour parvenir à cette intellectualité mathématique que j’évoquais.

Maintenant, je vois comment peu à peu on commence à rejoindre les deux bouts de la chaîne. D’un côté, des mathématiques très concrètes quand on traite des structures symplectiques telles que définies par Jean-Marie Souriau [ 1922 – 2012 ] – il y est question de thermodynamique, qui a déjà des applications avérées. De l’autre côté, le travail mené par Olivia Caravello et Laurent Lafforgue. Si on considère que la reconnaissance des topos signe la victoire de la géométrie sur le logicisme, en définitive c’est pour faire ces mathématiques très concrètes. Les deux bouts peuvent donc se rejoindre et je suis très confiant sur le fait qu’on puisse avoir un vrai dialogue, pour peu qu’on ne s’arrête pas sur des questions de délimitation, en quelque sorte qu’on ne cherche pas à être trop puriste. Le risque serait que cela suscite un repli dans son domaine personnel au prétexte qu’on en serait spécialiste et qu’on pourrait y faire des mathématiques pures. On gagne d’autant plus à cette convergence que les théories dont on parle sont précisément fructueuses.

- Voilà pour votre cheminement intellectuel qui vous a conduit à la théorie des topos et à l’aborder au prisme de la musique ou de la dialectique hegelienne. Venons-en à celui qui vous a conduit à ce dispositif de recherche particulier : l’IRT SystemX. « Particulier » au sens où il fédère en un même lieu des chercheurs et des ingénieurs des différentes institutions et entreprises partenaires…

M.G. : J’y suis arrivé en 2022, pour rejoindre le programme structurant la stratégie nationale pour l’IA de Confiance.ai, programme destiné à créer des conditions propices à construire un cadre méthodologique, technologique et pratique, pour une IA de confiance dans des industries stratégiques. Il fédérait pour cela des personnes aux profils variés, académiques et industriels : des chercheurs de laboratoires de recherche, des ingénieurs systèmes, des ingénieurs IA, des data scientists, qui abordaient tous l’enjeu de points de vue différents. Le résultat a été un succès à en juger par le sentiment général partagé lors de la session de clôture : celui de se comprendre désormais, de pouvoir se parler et s’entendre. C’est précisément ce que nous évoquions à l’instant, la compossibilité, et dont nous avons pu faire l’expérience concrète dans ce cadre particulier où il fallait absolument que les chercheurs et ingénieurs mobilisés parviennent à créer les conditions d’une confiance mutuelle en leurs travaux respectifs. Le contraire aurait d’ailleurs été aberrant : comment prétendre parvenir à une IA de confiance si ceux qui sont censés en construire une partie restaient dans une certaine défiance vis-à-vis de ceux qui en construisaient une autre ?

Une discipline ou une ingénierie ne peut pas prétendre s’imposer au détriment des autres. Pas plus qu’il n’y a qu’une approche disciplinaire, il n’y a pas qu’une ingénierie avec son unique manière d’appréhender les enjeux de sécurité en matière d’IA. Un ingénieur système a une manière de les traiter, différente de celle d’autres ingénieurs, comme ceux qui conçoivent une voiture autonome, par exemple, en y inscrivant de l’IA. Tous doivent pouvoir avancer ensemble et de concert en sorte d’amener un tel système à passer toutes les étapes de validation avant son déploiement. Un autre intérêt du programme Confiance.ai résidait dans sa taille même : il fallait qu’il y ait un nombre suffisamment important de représentants de chaque discipline concernée, pour prétendre dégager les invariants propres à chacune, en sorte de mettre les disciplines en dialogue.

- Cela supposait-il une familiarité de l’ensemble des représentants des disciplines réunis avec cette théorie des topos ?

M.G. : Bien sûr que non ! C’est en réalité rétrospectivement que je peux moi-même la convoquer. En rejoignant ce programme, je n’aspirais pas a priori à m’inscrire dans une démarche purement théorique, avec d’autres spécialistes de la théorie des topos. C’est d’abord, comme je l’ai dit, la confrontation avec d’autres points de vue, de chercheurs d’autres disciplines et d’ingénieurs qui m’intéressait. À travers mon parcours, j’ai toujours favorisé une recherche mouvante plutôt que de devenir spécialiste d’un seul domaine, aussi séduisant soit celui de la théorie des topos. Certes, celle-ci est époustouflante, mais à un moment donné, j’éprouve le besoin de revenir à des équations différentielles, à faire de l’analyse numérique sans lien avec ce que je faisais avant ! En cela, mon parcours diffère un peu de celui d’une grande partie des mathématiciens qui, à un moment donné, se spécialisent dans un domaine. Or mon parcours n’est pas unique, et je remarque que les théoriciens des topos ont une solide tradition d’interdisciplinarité, comme l’atteste le parcours d’Olivia Caramello.

- Tout théoriciens que vous soyez, vous, Laurent Lafforgue et Olivia Caramello, vous avez une commune appétence pour un dialogue avec des ingénieurs confrontés à des problématiques concrètes, a fortiori quand eux-mêmes sont intéressés par l’apport d’une recherche spéculative…

M.G. : À ceci près que, pour ma part, je me suis plongé très tôt dans le dialogue avec l’industrie, suite à mon arrivée à SystemX, avec toujours ce souci d’instaurer avec mes interlocuteurs un dialogue qui ne soit pas de sourds.  Opposer la réflexion intellectuelle à une démarche applicative, ou recherche fondamentale et ingénierie appliquée, n’a pas de sens pour moi car elles n’ont pas un même point de mesure. Une théorie se mesure à ses effets endogènes tout comme une solution d’ingénierie se mesure à sa valeur ajoutée effective. Ce qui m’intéresse avant tout, c’est autant le dialogue entre différentes approches au sein des mathématiques – entre celles de la topologie algébrique et de la théorie des nombres, par exemple – qu’à l’extérieur des mathématiques – entre les tenants de la géométrie différentielle, par exemple, et l’IA. La discussion autour de concepts suscite en moi l’enthousiasme de la recherche, a fortiori quand ces concepts trouvent des échos chez des interlocuteurs tournés vers une recherche plus applicative à l’image d’un Frédéric Barbaresco [ leader du segment « algorithmes et calculs quantiques » pour la direction technique Corporate de Thales ], avec lequel nous réfléchissons, avec d’autres, à la géométrisation de la physique en IA. Mais si la discussion tourne autour de défis applicatifs, mon gout pour la rigueur implacable de la recherche formelle cède sa place au gout des ingénieurs pour l’analyse disciplinée de ce qui, en pratique, fonctionne bien ou non.

Cela étant dit, je suis le premier surpris de me retrouver épanoui à construire des ponts entre ingénieurs de recherche et opérationnels en IA alors que j’ai fait des études de mathématiques fondamentales et même grothendieckiennes !

- On est loin de l’idée que le commun des mortels peut se faire de la recherche, en imaginant des univers cloisonnés, alors qu’il existe des ponts, pourrait-on dire, incarnés par des chercheurs et des ingénieurs en chair et en os qui sont dans des dialogues formels ou informels…

M.G. : Il faut effectivement des chercheurs disposés à rendre les résultats de leur recherche partageables avec des chercheurs comme avec des ingénieurs. Certes, l’interdisciplinarité, car c’est au fond aussi de cela qu’il s’agit, est ancrée de longue date dans la pratique de la recherche et on ne peut que s’en réjouir. J’y ai moi-même bénéficié par nombre de séminaires interdisciplinaires qui se tiennent à l’ENS de la rue d’Ulm. Subsiste cependant le risque d’un entre-soi. D’où l’importance de dialogues ouverts, qui essaient de déterminer des enjeux au-delà de la simple vulgarisation mathématique, même si celle-ci garde son intérêt propre pour le grand public.

- N’est-ce pas aussi l’intérêt d’écosystème comme celui de Paris-Saclay avec son ambition de renforcer les synergies entre chercheurs et univers de différents domaines disciplinaires ?

M.G. : Si, bien sûr ! Un tel écosystème peut assurer à des séminaires comme celui que j’évoquais le minimum d’effectifs et de variété garantissant une réelle interdisciplinarité. Cela me fait d’autant plus l’apprécier quand je me souviens de mon expérience dans un lieu de recherche hors norme comme l’Institut Max-Planck de mathématiques, à Bonn. Certes, à Bonn, il m’arrivait, par exemple, régulièrement de déjeuner avec des sommités des mathématiques comme Gerd Faltings, lauréat 2026 du prix Abel, ou Peter Scholze qui, à mon avis, est en train de révolutionner ni plus ni moins les mathématiques à la manière d’un Grothendieck avec les mathématiques dites condensées. Ce milieu plus que tout autre m’a permis de dépasser mes limites en mathématiques pures. Or l’interdisciplinarité est pour moi un élargissement, et le milieu francilien me manquait.

- Revenons-en à l’IA, ne serait-ce que pour vous demander si, après tout, en tant que champ de recherche et d’innovation, elle n’est pas d’abord propice à ce dialogue interdisciplinaire, à l’articulation des mondes de la recherche et de l’industrie ?

M.G. : Sûrement ! Le mot même d’intelligence y prédispose : en plus de désigner l’aptitude à faire du lien, il nomme une aptitude humaine nécessairement collective en plus d’être individuelle. L’intelligence collective, coordonnée, caractérise plus que jamais la recherche actuelle. La figure du mathématicien brillant, travaillant seul dans son coin, à la manière d’un Évariste Galois, est désormais l’exception de plus en plus rare. La recherche évoque en cela plus le Tour de France, avec ses pelotons qui permettent à chaque cycliste de s’inscrire dans une dynamique de groupe. Il en va de même pour le chercheur qui avance d’autant plus dans ses recherches qu’il peut interagir avec d’autres chercheurs. Il va d’ailleurs naturellement se rapprocher de chercheurs avec lesquels il se trouve des connivences – on y revient -, car c’est dans un groupe de chercheurs, plus ou moins formel, qu’il va puiser sa force. Il n’en a pas été autrement pour un Alexander Grothendieck ou ceux que j’ai cités.

- Grothendieck qui, d’ailleurs, dans Récoltes et semailles, ne manque pas de rendre hommage à des mathématiciens avec lesquels il a été en dialogue. Pour en revenir à l’IA, ne serait-elle pas au final un prétexte pour créer, justifier ces communautés de chercheurs et d’ingénieurs, et rendre justice à cette intelligence collective ?

M.G. : Votre question est l’occasion pour moi de revenir à cette notion de confiance en la mettant en regard avec celle de croyance. Alors que la confiance ne peut se manifester que hic et nunc, la croyance s’en remet à une promesse qui doit se réaliser à plus ou moins longue échéance. La confiance, par contre, ne peut être que déjà là. Et c’est sur la base de cette confiance que l’IA doit émerger. L’autonomie de cette dernière est donc toute relative, car elle présuppose la confiance entre les humains qui président à sa conception. Si contradiction il y a, ce n’est pas tant celle de construire une intelligence artificielle alors même qu’on valorise l’intelligence humaine collective, que de prétendre construire une IA dans laquelle on pourrait avoir confiance, sans même se faire confiance entre humains, entre chercheurs et industriels, entre concepteurs et usagers, etc. Quand un interlocuteur, chercheur ou industriel, me parle de confiance en l’IA, la première chose sur laquelle je l’interroge, c’est le degré de confiance qu’il accorde à ses partenaires, chercheurs ou industriels. Force est de constater qu’une telle confiance n’existe pas toujours a priori, notamment entre chercheurs qui optent pour la voie de la spécialisation en un seul domaine. Elle est donc parfois à construire.

Sylvain Allemand

Journaliste